6.2 waktu gelombang harmonik pada saluran transmisi

Jika tegangan merupakan fungsi sinusoid terhadap waktu, hal ini dapat mewakili tiap posisi dan waktu sepanjang saluran dengan rumus

Dimana V(z) bergantung hanya pada posisi sepanjang saluran, kita dapat menuliskan

v(z,t)=Re[V(z)e^j        ]

jika ditulis dengan identitas Euler’s dan hanya diambil bagian realnya

v(z,t)=Re[V_s(z)e^j   ]

11.4 PROPAGASI GELOMBANG SINUSOID TANPA RUGI-RUGI

Dengan mengambil fungsi sinusoid untuk persamaan tegangan, sehingga diperoleh

à untuk propagasi maju pada arah z

dan

  à untuk propagasi mundur pada arah z

Kedua persamaan tegangan ini merupakan representasi matematis dari nilai tegangan yang akan terukur setiap saat pada sebuah saluran transmisi.

Dimana magnitude        adalah nilai V pada z = 0, t = 0. Kita mendefinisikan konstanta fase β sebagai:

β =

Vp = kecepatan fase (kecepatan ini berlaku untuk setiap gelombang sinusoid murni/gelombang yang mempunyai frekuensi tinggi)

sehingga panjang gelombang atau λ dapat diketahui melalui persamaan:

λ =

 

11. 5 Analisis Kompleks Gelombang Sinusoid

Menyatakan gelombang –gelombang sinusoid sebagai fungsi-fungsi kompleks sangat membantu, karena hal ini akan memudahkan kita dalam menganalisis dan mendapatkan gambaran mengenai fase, yang terakumulasi pada sinyal-sinyal melalui berbagai mekanisme. Menyatakan fungsi-fungsi sinusoid dalam bentuk kompleks dilakukan dengan merujuk pada identitas euler, yaitu:

Berdasarkan identitas ini kita dapat menuliskan fungsi kosinus dan sinus, secara berturut-turut, sebagai bagian riil dan bagian imajiner dari bilangan eksponen kompleks euler:

Di mana j =       , k.k menotasikan (dan merupakansingkatan dari) konjugat kompleks dari suku yang muncul sebelumnya pada persamaan. Bilangan konjugat dibentuk dengan mengubah tanda semua bilangan j pada suku terkait.

Selanjutnya kita akan menerapkan persamaan eksponen kompleks euler tadi ke fungsi gelombang tegangan. Fungsi tegangan dalam bentuk kompleks dapat dirumuskan sebgai berikut:

Perhatikan bahwa kita telah menyusun sedemikian rupa besar-besaran fase sehingga kita dapat mengidentifukasikan amplitudo kompleks dari gelombang tegangan. Untuk selanjutnya simbol tunggal akan digunakan untuk menotasikan amplitudo dari gelomabang tegangan atau arus, dengan pemahaman bahwa amplitudo ini secara umum adalah sebuah besaran kompleks (yaitu, memiliki magnitudo dan fase).

Tegangan kompleks sesaat dirumuskan sebagai:

Tegangan fasaor dapat diperoleh dengan menghilangan e^jωt dari persamaan di atas, yaitu:

Tegangan fasor hanya dapat didefenisikan di dalam kondisi steady-state sinusoid yang artinya adalah Vo tidak bergantung pada waktu. Pada kenyataannya, asumsi ini telah kita gunakan sejak awal, karena sebuah amplitudo yang berubah terhadap waktu mengimplikasikan adanya beberapa komponen frekuensi di dalam sinyal. Proses menganalisis fase-fase relatif sinyal di berbagai titik pada saluran dan menggabungkan beberapa gelombang untuk membentuk gelombang yang  baruakan menjadi relatif mudah dalam bentuk fasor. Dari penjelasan ini kita dapat merumuskan persamaan, yaitu:

Dengan kata lain, kita dapat memperoleh kembali gelombang tegangan sinusoid riil dengan mengalikan tegangan fasor dengan e^jωt ( yang sama artinya dengan memasukkan faktor kebergantungan terhadap waktu) dan kemudian mengambil bagian riil dari hasil perkalian ini.

 

11.6 Persamaan –Persamaan Saluran Transmisi dan Solusinya Dalam Bentuk Fasor

Dalam proses mendapatkan persamaan-persamaan baru dari bentuk tegangan riil sesaat V(z,t),  kita dapat memanfaatkan fakta bawa penerapan operator ∂/∂t pada suatu bentuk besaran lompleks akan sama artinya dengan mengalikan besaran itu dengan faktor jω. Setelah subtitusi dilakukan, dan setelah semua turunan (derivatif) terhadap waktu diselesaikan, faktor  e^jωt akan hilang. Hasil dari langkah-langkah matematis di atas adalah sebuah persamaan gelombang dengan suku-suku tegangan fasor:

Di mana (R+jωL) dan (G+jωC) yang diindikasikan pada persamaan ini secara berturut-turut merepresentasikan impedansi seri netto dan admitansi shunt netto pada saluaran transmisi. Kedua besaran diukur dalam basis per satuan jarak. Konstanta propagasi untuk saluran ini didefenisikan sebagai:

Persamaan gelombang tegangan dan arus dapat dibentu dalam fasor, yaitu:

Berikutnya kita akan menyulihkan bentuk persamaan tegangan fasor pada sisi kanan dengan bentuk arus persamaan sinusoid, sehingga didiapat:

Dengan menyulihkan bentuk-bentuk Z dan Y yang telah ada, kita dapat menuliskan impedansi karakteristik sebagai fungsi dari parameter-parameter saluran transmisi: